Paderborner Mathezirkel (Online): Geometrische Figuren im Quadratgitter - Deutscher Bildungsserver

Paderborner Mathezirkel (Online): Geometrische Figuren im Quadratgitter

14.06.2025, 10:00 Uhr - 14.06.2025, 13:00 Uhr

Virtueller Workshop der Universität Paderborn
Via Zoom
Online
Nordrhein-Westfalen
Deutschland
kerstin.hesse@math.upb.de

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Der Paderborner Mathezirkel richtet sich an Schülerinnen und Schüler (Vorkenntnisse Mittelstufenmathematik, Teilnahme normalerweise ab 9. Klasse möglich), die Interesse haben, spannende Mathematik jenseits der Schule kennenzulernen. Die Teilnahme ist kostenlos. Anmeldung mit dem Anmeldeformular von der Webseite. Beschreibung dieses Mathezirkel-Treffens: Teilnehmende betrachten ein rechtwinkliges Quadratgitter, bei dem alle Punkte des Gitters jeweils den Abstand 1 zu den direkten Nachbarpunkten haben. Die Gitterpunkte sind also (m,n), wobei m, n ganze Zahlen sind. Wie berechnet man den Flächeninhalt A eines Vielecks, dessen Eckpunkte Gitterpunkte sind? Der Satz von Pick besagt, dass dieses mit der Formel A = i (1/2)*r - 1 geht, wobei i die Anzahl der Gitterpunkte im Innern des Vielecks und r die Anzahl der Gitterpunkte auf dem Rand des Vielecks ist! Man muss zur Flächenberechnung also bloß Gitterpunkte zählen können. – Wieso gilt dieser überraschende Satz, und wie beweist man ihn? Die Teilnehmenden werden sich dem Beweis schrittweise nähern, indem sie den Satz von Pick zunächst für Rechtecke und rechtwinklige achsenparallele Dreiecke, jeweils mit Eckpunkten in Gitterpunkten, beweisen. Eine Erweiterung auf den Fall beliebiger Dreiecke mit Eckpunkten in Gitterpunkten und die Additivität/Subtraktivität der Flächenberechnung liefert darauf aufbauend den Beweis für beliebige Vielecke mit Eckpunkten in Gitterpunkten.