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12. 08. 2010

 

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Bildung + Innovation

Das Online-Magazin zum Thema Innovation und Qualitätsentwicklung im Bildungswesen

„Mengen, zählen, Zahlen“

Entwicklungsorientierte Förderung früher mathematischer Kompetenzen

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Das Thema vorschulische Frühförderungsmöglichkeiten bei einer Rechenschwäche interessiert viele: Eltern, Erzieherinnen und Erzieher sowie die Lehrkräfte in der Schule. Die Online-Redaktion befragte deshalb Prof. Dr. Kristin Krajewski von der Abteilung Bildung und Entwicklung am DIPF unter anderem zur Förderung des mathematischen Verständnisses von Kindern in der Vor- und der Grundschule, zu den Möglichkeiten, wie mathematische Kompetenzen von Kindern diagnostiziert werden können und zum entwicklungspsychologisch orientierten Förderkonzept „Mengen, zählen, Zahlen“.

Online-Redaktion: Welche mathematischen Kenntnisse erwerben Kinder bereits in der Vorschulzeit?

Krajewski: Kinder kommen schon mit der Fähigkeit auf die Welt, zwischen verschieden großen Flächen und Ausdehnungen zu unterscheiden. Dies ermöglicht es ihnen, Mengen zwar noch nicht nach Stückzahlen, aber hinsichtlich Umfang und Volumen voneinander unterscheiden zu können. Neben dieser angeborenen Fähigkeit lernen bereits etwa Zweijährige, verschiedene Zahlworte aufzusagen. Zu dieser Zeit besitzen sie jedoch noch kein Verständnis dafür, dass die Zahlworte für Mengen (Stückzahlen) stehen. Zahlworte und Mengen werden also noch nicht miteinander in Verbindung gebracht (Kompetenzebene1).

Die Verknüpfung von Zahlworten mit Mengen (Kompetenzebene 2) erfolgt erst später. Hierbei verstehen Kinder zunächst, dass manche Zahlworte (z.B. drei, eins) für „wenig“ stehen, andere Zahlworte mit dem Begriff „viel“ in Verbindung gebracht werden können (z.B. „zwanzig“), und wieder andere Zahlworte „sehr viel“ repräsentieren. Wenn sie eine solche – noch ungenaue – Zuordnung von Zahlworten und Mengenbegriffen vornehmen können, werden sie auch bald fähig, eng nebeneinander liegende Zahlworte – genau – hinsichtlich ihrer exakten Größe bzw. ihrer Stückzahlen miteinander zu vergleichen. Schon manche dreijährige Kinder verfügen über diese zweite Kompetenzebene, die eine „Mengenbewusstheit von Zahlen“ widerspiegelt und die entscheidend ist für die Entwicklung eines arithmetischen Verständnisses.

Wie Untersuchungen mit Grundschulkindern zeigen, haben jedoch Kinder mit Rechenschwierigkeiten diesen Entwicklungsschritt oft selbst in der Grundschulzeit noch nicht vollzogen. Dieser Entwicklungsschritt ist jedoch entscheidend, um zu erkennen, dass sich Zahlen aus anderen Zahlen zusammensetzen lassen und dass der Unterschied zwischen zwei Zahlen wieder eine Zahl ist (Kompetenzebene 3). Diese Grundprinzipien der Zahlen, die schon manche Vierjährige verstanden haben, bleiben rechenschwachen Grundschülern oft noch lange Zeit ein Rätsel.

Online-Redaktion: Welchen Einfluss haben diese Kenntnisse auf die Mathematikleistungen der Kinder in der Grundschulzeit?

Krajewski: In mehreren Langzeitstudien konnte gezeigt werden, dass die Ausbildung dieser frühen Mengen-Zahlen-Kompetenzen im Vorschulalter für die mathematischen Schulleistungen in der Grundschulzeit entscheidend ist. Kinder, die vor Schuleintritt verstanden haben, dass hinter aufsteigenden Zahlen größer werdende Mengen und hinter absteigenden Zahlen kleiner werdende Mengen stehen, haben bessere Chancen, die Grundschulmathematik relativ problemlos zu meistern. Kinder jedoch, denen am Schulbeginn dieses Verständnis für die Verknüpfung von Zahlen mit Mengen fehlt, tragen ein erhöhtes Risiko, in der Schule Schwierigkeiten mit dem Rechnen zu bekommen.

Online-Redaktion: Welche Rolle spielt die Intelligenz der Kinder bei den Mathematikleistungen in der Grundschule?

Krajewski: Wie die Langzeitstudien zudem zeigen konnten, sind es tatsächlich vor allem die früh vorhandenen Mengen-Zahlen-Kompetenzen, die einen Einfluss auf die Mathematikleistungen in der Grundschule haben. Darüber hinaus ist es weit weniger bedeutend, wie intelligent ein Kind ist. D.h. in den Langzeitstudien waren selbst Kinder mit geringeren intellektuellen Fähigkeiten im Mathematikunterricht der Grundschule erfolgreich, wenn sie bereits im Vorschulalter über ein Verständnis für die Verknüpfung von Zahlen mit Mengen verfügten.

Online-Redaktion: Wie kann man bei Kindern im Vorschulalter bereits eine Rechenschwäche diagnostizieren? Welche Früherkennungsmöglichkeiten gibt es?

Krajewski: Eine Rechenschwäche lässt sich anhand von deutlich beeinträchtigten Leistungen diagnostizieren, die Kinder in einem standardisierten Mathematiktest in der Schule zeigen. Sie kann daher im Vorschulalter noch nicht eindeutig festgestellt werden. Da aber große Zusammenhänge zwischen den oben beschriebenen vorschulischen Mengen-Zahlen-Kompetenzen und den späteren Mathematikleistungen in der Schule bestehen, lässt sich im Vorschulalter bereits ein Risiko für das spätere Auftreten einer Rechenschwäche bestimmen. Hierfür können die frühen Mengen-Zahlen-Kompetenzen von Vorschulkindern untersucht werden. So sollte ein Kind ein halbes Jahr vor Schuleintritt die Zahlwortfolge vorwärts bis 20 und rückwärts ab 10 beherrschen, hierbei Zahlworte benennen können, die vor oder nach einer anderen Zahl kommen und möglichst auch die arabischen Ziffern bis 10 schon kennen (Kompetenzebene 1). Es sollte zudem im Zahlenraum bis 10 aus verschiedenen Mengen diejenige auswählen können, die zu einem bestimmten Zahlwort gehört, sollte Anzahlen nach ihrer Größe ordnen und angeben können, zu welcher Zahl mehr Dinge gehören als zu einer anderen (Kompetenzebene 2). Außerdem sollte es möglichst auch schon über Kompetenzen der dritten Ebene verfügen und beispielsweise an konkret vorliegendem Material bestimmen können, wie viele Bälle drei Bälle und vier Bälle zusammen ergeben, um für den Mathematikunterricht in der Grundschule gut gerüstet zu sein.

Online-Redaktion: Wie kann man einer Rechenschwäche bereits im Vorschulalter vorbeugen?

Krajewski: Kinder, die ein halbes Jahr vor Schuleintritt noch nicht über diese grundlegenden Kompetenzen verfügen, sollten in geeigneter Weise im Erwerb einer Mengenbewusstheit von Zahlen gefördert werden. Hierbei sollte beachtet werden, dass sich die Förderung an der oben beschriebenen Entwicklungsabfolge orientiert und dabei geeignete Darstellungsmittel herangezogen werden. Es muss zunächst sichergestellt werden, dass ein Kind die Zahlenfolge vorwärts und rückwärts sicher beherrscht und einzelne Zahlworte aus der Folge problemlos benennen kann (Kompetenzebene 1). Um das Gedächtnis zu entlasten, ist es sehr hilfreich, wenn die Kinder beim Erlernen bzw. Üben auch die arabischen Ziffern in ihrer Folge vor sich sehen.

Aufbauend auf diesen Grundkenntnissen sollte den Kindern anhand geeigneter Materialien deutlich gemacht werden, dass hinter Zahlen Mengen stehen, dass Zahlen mit Mengen verknüpft sind, also für Anzahlen stehen, und aufsteigende Zahlen größer werdende Mengen repräsentieren (Kompetenzebene 2). Hierfür geeignet sind Materialien genau dann, wenn sich die Dinge, die für die einzelnen Zahlen verwendet werden, in keiner Hinsicht außer der Anzahl voneinander unterscheiden. Nur so wird für die Kinder unmittelbar sichtbar, dass sich Zahlen aufgrund der Anzahl von Mengen und nicht etwa aufgrund von Farbe, Form oder Eigenschaft der Dinge unterscheiden.

Ein Kind wird den Unterschied zwischen Zahlen also viel schneller erkennen, wenn für die Zahlen 3 und 4 beispielsweise jeweils drei bzw. vier identische blaue Stifte verwendet werden, als wenn man zur Veranschaulichung der beiden Zahlen drei rote Käfer und vier blaue Stifte benutzt. Denn letztere unterscheiden sich zwar auch in der Anzahl (drei und vier), wesentlich aber vor allem in ihren Eigenschaften (Tiere – Schreibzeug) und in ihrer Farbe (rot-blau) voneinander. Nur wenn die dargestellten Anzahlen durch exakt gleiche Dinge repräsentiert werden, können Kinder schließlich auch zur bedeutenden Erkenntnis gelangen, dass von einer zur nächsten Zahl (drei, vier) eins dazukommt (Kompetenzebene 3). Wenn man zu drei roten Käfern einen weiteren dazulegt, erhält man hingegen keine vier blauen Stifte.

Online-Redaktion: Inwieweit lassen sich mit dem entwicklungspsychologisch orientierten Förderkonzept „Mengen, zählen, Zahlen“ (MZZ) die mathematischen Vorläuferfertigkeiten von Vorschulkindern verbessern?

Krajewski: Das Konzept „Mengen, zählen, Zahlen“ orientiert sich an den oben beschriebenen Prinzipien und richtet die Aufmerksamkeit gezielt auf besondere Meilensteine im frühen mathematischen Verständnis von Kindern. Es hat zum Ziel, Kindern den Sinn der Zahlen zu vermitteln, indem es sich einerseits an der natürlichen mathematischen Entwicklung orientiert und andererseits die abstrakte Struktur der Zahlen und des Zahlenraumes für Kinder „greif- und sichtbar“ macht. Hierbei kommen Materialien zum Einsatz, die auf das Wesentliche der Zahlen reduziert sind. D.h. für alle Zahlen werden die gleichen Veranschaulichungen benutzt, sodass sich alle Dinge und Bilder, die den verschiedenen Zahlen zugeordnet werden, nur in ihrer Anzahl voneinander unterscheiden. Dies macht die Prinzipien der Zahlen, z.B. dass von einer zur nächsten Zahl eins dazu kommt, für die Kinder unmittelbar sichtbar, sodass sie sich den Sinn und die Struktur der Zahlen nicht selbst erst durch das Abstrahieren von unwesentlichen Details erschließen müssen.

Viel Wert wird während der Förderung darauf gelegt, dass die Kinder die numerischen Beziehungen (z.B. „mehr als“, „weniger als“) und Erkenntnisse über die Zahlen auch verbalisieren (z.B. beim Zählen: „Du sagst ‚vier’, tippst aber nur ein Kärtchen an. Warum?“), um auch durch die Sprache die Aufmerksamkeit der Kinder gezielt auf das Wesentliche der Zahlen zu richten.

In der achtwöchigen, 24 Einheiten umfassenden und von Erzieherinnen durchführbaren Förderung mit „Mengen, zählen, Zahlen“ werden zunächst spielerisch Zahlwortfolge und Ziffernkenntnis im Zahlenraum bis 10 geübt und gefestigt (Kompetenzebene 1). Die Zahlworte werden mit Mengen verknüpft und Zahlen auf dieser Basis miteinander verglichen (Kompetenzebene 2). So wird den Kindern vermittelt, dass zu größeren Zahlen mehr Dinge gehören und dass man Anzahlen, die man durch Auszählen bestimmt, auch nach aufsteigender Größe exakt an die Zahlenfolge anordnen kann. Schließlich erlangen die Kinder eine Bewusstheit dafür, dass zwischen den Zahlen Beziehungen bestehen, welche Beziehungen zwischen Mengen widerspiegeln (Kompetenzebene 3). Sie sehen, begreifen und verbalisieren, dass sich zwei aufeinander folgende Zahlen immer um eins unterscheiden und dass sich Zahlen aus kleineren Zahlen zusammensetzen lassen.

In einer Pilotstudie mit 260 Vorschulkindern konnten sowohl kurz- als auch langfristige Effekte des Förderprogramms auf die frühen mathematischen Kompetenzen der Kinder nachgewiesen werden. Es ließ sich die Empfehlung ableiten, dass die Förderung mit dem Konzept „Mengen, zählen, Zahlen“ möglichst nahe an den Schuleintritt gelegt werden sollte, um die Übertragung der Effekte auf die mathematischen Schulleistungen wahrscheinlicher zu machen. In einer weiteren Untersuchung fanden sich zudem Hinweise, dass gerade vorwissensschwache Vorschüler („Risikokinder“) besonders gut auf eine Förderung mit dem MZZ ansprechen. Es ließ sich bestätigen, dass mit dem Förderprogramm eine differenzierte mathematische Förderung möglich und besonders dann erfolgreich ist, wenn sie sich am jeweiligen Entwicklungsstand der Kinder orientiert.

Online-Redaktion: Wie kann man Kinder mit einer Rechenschwäche im Grundschulalter fördern?

Krajewski: Da Grundschulkinder mit einer Rechenschwäche meist die drei Ebenen der Entwicklung von Mengen-Zahlen-Kompetenzen nicht vollständig durchlaufen haben, sondern hier noch gravierende Defizite aufweisen, sollte die Förderung zunächst beim oben beschriebenen Aufbau der grundlegenden Mengen-Zahlen-Kompetenzen beginnen. So sollte auch bei diesen Kindern zuallererst die Beherrschung der Zahlwortfolge vorwärts und rückwärts (Kompetenzebene 1) sichergestellt und das Verständnis für die Mengen-Zahlen-Verknüpfung (Kompetenzebene 2) aufgebaut werden, bevor zu höheren Kompetenzen übergegangen und basale Rechenaufgaben in Angriff genommen werden können. Auch bei rechenschwachen Grundschulkindern sollte man sich hierbei zunächst auf den Zahlenraum bis 10 beschränken, da auch bei diesen Kindern Ziel ist, zunächst ein zunächst ein grundlegendes Verständnis der Zahlen aufzubauen. Wie in mehreren Studien gezeigt werden konnte, kann das Förderprogramm „Mengen, zählen, Zahlen“ besonders auch bei diesen Kindern erfolgreich eingesetzt werden und resultiert bei rechenschwachen Erstklässlern in bedeutsamen Effekten auf die schulischen Mathematikleistungen. Leistungssteigerungen zeigen sich hier nicht nur im Teil-Ganzes-Verständnis von Zahlen und in Sachaufgaben, sondern mit zeitlicher Verzögerung auch in der arithmetische Performanz der Kinder.


Literatur:

Krajewski, K. (2008). Vorschulische Förderung mathematischer Kompetenzen. In: F. Petermann & W. Schneider (Hrsg.), Enzyklopädie der Psychologie, Reihe Entwicklungspsychologie, Bd. Angewandte Entwicklungspsychologie (S. 275-304). Göttingen: Hogrefe.

Ennemoser, M. & Krajewski, K. (2007). Effekte der Förderung des Teil-Ganzes-Verständnisses bei Erstklässlern mit schwachen Mathematikleistungen. Vierteljahreszeitschrift für Heilpädagogik und ihre Nachbargebiete, 76, 228-240

Krajewski, K. (in Druck). Förderung der Mengenbewusstheit von Zahlen und Zahlrelationen. In: G. Lauth, M. Grünke & J. Brunstein (Hrsg.), Interventionen bei Lernstörungen. Göttingen: Hogrefe.

Krajewski, K. & Ennemoser, M. (2010). Die Berücksichtigung begrenzter Arbeitsgedächtnisressourcen in Unterricht und Lernförderung. In: H.-P. Trolldenier, W. Lenhard & P. Marx (Hrsg.), Brennpunkte der Gedächtnisforschung (S. 337-365). Göttingen: Hogrefe.

Krajewski, K., Nieding, G. & Schneider, W. (2007). Mengen, zählen, Zahlen: Die Welt der Mathematik verstehen (MZZ). Berlin: Cornelsen.

Krajewski, K., Nieding, G. & Schneider, W. (2008). Kurz- und langfristige Effekte mathematischer Frühförderung im Kindergarten durch das Programm „Mengen, zählen, Zahlen“. Zeitschrift für Entwicklungspsychologie und Pädagogische Psychologie, 40, 135-146.

Krajewski, K., Renner, A., Nieding, G. & Schneider, W. (2008). Frühe Förderung von mathematischen Kompetenzen im Vorschulalter. Zeitschrift für Erziehungswissenschaft, 10, Sonderheft 11/2008, 91-103.

Autor(in): Petra Schraml
Kontakt zur Redaktion
Datum: 12.08.2010
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