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Trigonometrische Funktionen integrieren bzw. aufleiten, Beispiel 1 | A.42.06
Die Stammfunktion von sin ist -cos, die Stammfunktion von cos ist sin. Die innere Ableitung muss (wie bei jeder Integration) in den Nenner (runter), (man wendet also ganz normal die umgekehrte Kettenregel bzw. lineare Substitution an). Für die Stammfunktion F(x) (böse gesagt: die Stammfunktion) kann man daher die Formel anwenden: f(x)=a*e^(bx+c) == ...
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Bestandsänderung berechnen | A.31.01
Bei ganz vielen Aufgaben geht es einen Bestand (z.B. eine Temperatur, eine Wassermenge im Behälter, ) und die Änderung von diesem Bestand (die Temperaturzu- oder -abnahme, die Zunahme vom Wasserbestand oder dessen Abnahme,...). Nun geht es darum, dass die Funktion, die die Änderung beschreibt, die Ableitung der Bestandsfunktion ist. Sie werden es nicht glauben: aus dieser ...
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Fläche zwischen drei Funktionen berechnen / eingeschlossene Fläche | A.18.04
Wenn man eine Fläche zwischen drei Funktionen berechnen soll, geht das nicht direkt. Man muss die Fläche aufteilen, so dass sich sowohl unterhalb als auch oberhalb der Fläche nur je EINE Funktion befindet. Meist befindet sich zwischen den linker und rechter Grenze der eingeschlossenen Flächen irgendein Schnittpunkt von zwei Funktionen. An diesem Schnittpunkt teilt man die ...
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Fläche zwischen drei Funktionen berechnen / eingeschlossene Fläche, Beispiel 1 | A.18.04
Wenn man eine Fläche zwischen drei Funktionen berechnen soll, geht das nicht direkt. Man muss die Fläche aufteilen, so dass sich sowohl unterhalb als auch oberhalb der Fläche nur je EINE Funktion befindet. Meist befindet sich zwischen den linker und rechter Grenze der eingeschlossenen Flächen irgendein Schnittpunkt von zwei Funktionen. An diesem Schnittpunkt teilt man die ...
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Partialbruchzerlegung, Beispiel 6 | A.14.07
Beim Integrieren von Brüchen stößt man manchmal auf sehr hässliche Brüche. Eine Möglichkeit ist der Weg über die Partialbruchzerlegung. (Gehört NICHT zu den ganz einfachen Themen!!). Schritt 1) Falls die Hochzahl oben größer oder kleiner als die Hochzahl unten ist, vereinfacht man das Ganze über die Polynomdivision. Schritt 2) Man bestimmt die Nullstellen des ...
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Exponentialfunktion integrieren bzw. aufleiten, Beispiel 3 | A.41.05
Das Integrieren von e-Termen läuft ähnlich ab, wie das Ableiten. In der Stammfunktion bleibt der e-Term komplett unverändert, die innere Ableitung (die Ableitung der Hochzahl) wird runter, in den Nenner geschrieben. Man führt also eine umgekehrte Kettenregel an, auch lineare Substitution genannt. Für die Stammfunktion F(x) (böse gesagt: die Aufleitung) kann man daher ...
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Fläche zwischen drei Funktionen berechnen / eingeschlossene Fläche, Beispiel 2 | A.18.04
Wenn man eine Fläche zwischen drei Funktionen berechnen soll, geht das nicht direkt. Man muss die Fläche aufteilen, so dass sich sowohl unterhalb als auch oberhalb der Fläche nur je EINE Funktion befindet. Meist befindet sich zwischen den linker und rechter Grenze der eingeschlossenen Flächen irgendein Schnittpunkt von zwei Funktionen. An diesem Schnittpunkt teilt man die ...
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Wurzel integrieren; Brüche integrieren, Beispiel 3 | A.14.02
Viele Wurzeln und Brüche kann man so umschreiben, so dass die Ableitung wesentlich einfacher wird. Brüche: Wenn oben im Zähler kein x steht, sondern nur Zahlen und unten im Nenner weder + noch , kann man x von unten aus dem Nenner hoch in den Zähler bringen, indem man das Vorzeichen der Hochzahl wechselt. Wurzeln: man schreibt die Wurzel um, und zwar in ...
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Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen; eingeschlossene Fläche, Beispiel 1 | A.18.03
Braucht man die Fläche zwischen zwei Funktionen, berechnet man das Integral von der Differenz beider Funktionen. (Man zieht die Funktionen also voneinander ab und leitet das Ergebnis auf). Die Integralgrenzen sind entweder die Schnittpunkte der Funktionen oder sie sind in der Aufgabenstellung gegeben. Zum Schluss setzt man beide Grenzen in die Aufleitung ein und zieht die ...
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Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen; eingeschlossene Fläche | A.18.03
Braucht man die Fläche zwischen zwei Funktionen, berechnet man das Integral von der Differenz beider Funktionen. (Man zieht die Funktionen also voneinander ab und leitet das Ergebnis auf). Die Integralgrenzen sind entweder die Schnittpunkte der Funktionen oder sie sind in der Aufgabenstellung gegeben. Zum Schluss setzt man beide Grenzen in die Aufleitung ein und zieht die ...
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