Bestimmte Integrale beGREIFEN

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In diesem Fachartikel zum Thema "Bestimmte Integrale beGREIFEN" wird eine Möglichkeit zur enaktiven Veranschaulichung des bestimmten Integrals im Sinne der Montessori-Pädagogik vorgestellt, die auf den Regelschulunterricht übertragen werden kann.

Anbieter:

Lehrer-Online | Eduversum GmbH, Taunusstr. 52, 65183 Wiesbaden

Autor:

Annalisa Steinecke

Lange Beschreibung:

Verständnisorientierter Mathematikunterricht soll darauf abzielen, dass die Schülerinnen und Schüler anschauliche Grundvorstellungen zu den mathematischen Begriffen ausbilden, denn durch Grundvorstellungen können die fachlichen Aspekte eines Begriffs erfasst und mit Bedeutung versehen werden (vgl. Greefrath et al. 2016: 17). Solche Vorstellungen können sich beispielsweise durch konkrete Materialhandlungen entwickeln. Die enaktiven Lernformen der Montessori-Pädagogik liefern in diesem Zusammenhang interessante Impulse. Montessori-pädagogische Materialarbeit Maria Montessori beschrieb die Hände als Werkzeug menschlicher Intelligenz. Montessori-Schulen arbeiten dementsprechend seit jeher mit speziellen Lernmaterialien aus Holz, Metall oder Kunststoff, die eine handelnde, selbsttätige und vorstellungsorientierte Erarbeitung der mathematischen Zusammenhänge ermöglichen. Die ästhetischen Lernmaterialien sind im montessorischen Klassenzimmer auf frei zugänglichen Regalen deponiert. Montessori vertrat weiterhin die Ansicht, dass sich die verschiedenen Elemente komplexer Lerngegenstände gegenseitig behindern, wenn sie alle auf einmal gelernt werden sollen. Im Montessori-Material wird daher jeweils nur ein bestimmtes Merkmal des Lerngegenstandes beziehungsweise ein spezifischer Lernschritt fokussiert und vergegenständlicht. Die Altersempfehlungen für die Materialien zeigen, dass sich die Kinder viele mathematische Themen so schon sehr viel früher erarbeiten können, als es der Regelschullehrplan vorsieht. Das bestimmte Integral als orientierter Flächeninhalt Greefrath et al. (2016: 238-254) unterscheiden vier Grundvorstellungen, die Lernende zum Integralbegriff ausbilden sollten. Dieser Beitrag fokussiert die Flächeninhaltsvorstellung, die den klassischen Zugang zur Integralrechnung betont. Das bestimmte Integral wird dabei als orientierter Flächeninhalt interpretiert, die der Graph einer Funktion f in einem Intervall [a;b] mit der x-Achse einschließt. Während Flächen oberhalb der x-Achse positiv gezählt werden, werden Flächen unterhalb der x-Achse also negativ gewichtet. Ergebnisse empirischer Untersuchungen weisen allerdings darauf hin, dass viele Lernende den Integralbegriff unmittelbar mit dem Flächeninhalt identifizieren (vgl. z.B. Baumert et al. 1999) und somit die Orientierung der Fläche missachten. Dieser potenziellen Fehlvorstellung sollte im Unterricht gezielt vorgebeugt werden. Montessorisches Lernmaterial zur Integralrechnung Eine Möglichkeit zur handlungsorientierten Entwicklung der Flächeninhaltsvorstellung bietet das montessorische Lernmaterial der Roten und Blauen Flächen, das die Autorin neben einigen anderen Materialien im Rahmen ihres schulpraktisch erprobten Dissertationsprojekts entwickelt hat. Das bestimmte Integral wird dabei mithilfe von hölzernen Flächenstücken dargestellt, die in einem Koordinatensystem zwischen einem gegebenen Graphen und der x-Achse ausgelegt werden. Die selbsttätige Materialarbeit wird durch eine anleitende Kartei gesteuert, die Arbeitsanweisungen, Aufgaben und illustrative Lösungen zur Selbstkontrolle der Materialarbeit bereithält. Anstelle von kalkülhaften Berechnungen wird auf dieser Stufe des Lernprozesses eine rein qualitative Herangehensweise realisiert: Auf Funktionsterme und die Berechnungsformeln des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung wird zunächst verzichtet. Im Folgenden wird die Arbeit mit den Roten und Blauen Flächen exemplarisch anhand eines punktsymmetrischen Graphen einer Funktion f erläutert (vgl. Abbildung). Die Aufgabe lautet, das bestimmte Integral  darzustellen: 1. Zur Veranschaulichung des Integrationsbereichs werden verschiebbare Gummibänder als Integralgrenzen über den Koordinatenrahmen gespannt. 2. Die entsprechenden Flächenstücke werden sodann zwischen dem Graphen und der x-Achse ausgelegt. Sie unterliegen einer konsequenten Farbkodierung, die die Orientierung des Flächeninhalts zum Ausdruck bringt: Flächen oberhalb der x-Achse sind rot und werden positiv gezählt, Flächen unterhalb der x-Achse sind blau und werden negativ gezählt. Da die orientierten Inhalte der krummlinigen Flächen noch nicht selbständig ermittelt werden können, sind die jeweiligen Maßzahlen auf den Flächenstücken angegeben. 3. Durch Ablesen der Maßzahlen kann der Wert des bestimmten Integrals ermittelt und die zugehörige Rechnung notiert werden. 

Bildungsebene:

Sekundarstufe I

Lizenz:

CC-by-sa

freie Schlagwörter:

dynamische Mathematik; GeoGebra; selbstständige Arbeit

Sprache:

Deutsch

Themenbereich:

Schule; Grundschule; Mathematik
Schule; Grundschule; Mathematik; Zahlen
Schule; mathematisch-naturwissenschaftliche Fächer
Schule; mathematisch-naturwissenschaftliche Fächer; Mathematik
Schule; mathematisch-naturwissenschaftliche Fächer; Mathematik; Fächerübergreifende Themen
Schule; mathematisch-naturwissenschaftliche Fächer; Mathematik; Fachdidaktik

Geeignet für:

Lehrer